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TD2.1 : Usage de la cryptographie asymétrique

Pas de compte-rendu pour ce TD

Ce TD présente et applique les notions de cryptographie asymétrique :

• Génération de clés RSA
• Distribution de clés
• Signature et chiffrement RSA

Le cryptosystème que nous allons utiliser ici est basé sur la fonction RSA. Le cryptosystème proposé est simple et présente donc certaines vulnérabilités mais illustre le fonctionnement.

Génération de clés RSA

Nous allons commencer par générer une paire de clés RSA pour chacun. Voici l'algorithme simplifié de génération de clés RSA (en réalité, d'autres tests doivent être réalisés) :

• Choisir deux nombres premiers p et q (exemples de premiers)
• Calculer n = p * q (Attention, pour que la suite du TD fonctionne, n doit être supérieur à 1000 !)
• Calculer φ(n) = (p-1)(q-1)
• Choisir e tel que :
  • 1 < e < φ(n)
  • pgcd(e, φ(n)) = 1
  • Par exemple, un premier qui ne divise pas φ(n)
• Déterminer l'inverse modulaire d ≡ e^-1 mod φ(n). Vous pouvez utiliser DCODE pour cela (attention, pas le pow Python pour ça, sauf si vous êtes certain d'avoir une version de python supérieure ou égale à 3.8 !)
• La clé publique est (e,n) et la clé privée est (d,n)

Gardez votre clé privée secrète et transmettez votre clé publique avec votre nom à l'enseignant, sur un papier. Elle sera inscrite au tableau (la "PKI").

Les exemples dans la suite du sujet sont réalisés avec p=31, q=37, n=1147, φ(n)=1080, e=7, d=463. La clé publique est (e,n), ici (7,1147), et la clé privée est (d,n), ici (463,1147).

Rappel : la propriété utilisée est que pour tout message m, m^de[n] = m.

Chiffrement et déchiffrement

Description

Nous allons chiffrer des chaînes de caractères. Pour cela, chaque lettre est remplacée par son rang dans l'alphabet, sur 2 chiffres :

a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m	n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z	_
01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

Par exemple, "crypto" devient 03 18 25 16 20 15

Ensuite, afin de ne pas retomber dans un chiffrement par substitution simple, les chiffres sont assemblés par blocs de 3 (complété éventuellement de 0 à la fin), ainsi 03 18 25 16 20 15 devient 031 825 162 015.

Enfin, chaque bloc clair de 3 chiffres est chiffré indépendamment par la fonction RSA : bloc_chiffré = bloc_clair^e[n]. Attention, (e,n) représente une clé publique, mais celle de qui ? L'utilisation de la clé (7,1147) donne le chiffré 1116 751 245 1108.

Attention, si vous utilisez python et non DCODE, lors de l'appel à la fonction pow(a,b,c) de python, n'écrivez pas de '0' en début d'entier. Par exemple, pour le bloc clair 031, tapez pow(31,7,1147). Commencer un entier par '0' le fait interpréter comme un nombre encodé en octal (même principe qu'un nombre commençant par '0x' qui est interprété comme un hexadécimal).

Pour calculer les exponentiations modulaires, vous pouvez utiliser python (dans l'interpréteur, tapez pow(a,b,c) pour obtenir a^b[c]) ou DCODE. Attention, lors des calculs, n'écrivez pas de '0' en début d'entier. Par exemple, pour le bloc clair 031, tapez pow(31,7,1147). Commencer un entier par '0' le fait interpréter comme un nombre encodé en octal (même principe qu'un nombre commençant par '0x' qui est interprété comme un hexadécimal).

Le déchiffrement est opéré de manière analogue, en utilisant la clé privée au lieu de la clé publique. Chaque bloc clair est réobtenu à partir du bloc chiffré par le calcul : bloc_clair = bloc_chiffré^d[n]

Mise en pratique

Vous allez maintenant transmettre un message chiffré à un étudiant éloigné (en vous déplaçant). Le chiffrement assure la confidentialité du message transmis. Imaginez qu'il serait normalement transmis par des routeurs intermédiaires, qui auraient pu être vos collègues, mais nous privilégions ici une transmission directe en raison des règles sanitaires.

1. Envoi de votre message : Chiffrez un message de votre choix avec le cryptosystème proposé. Inscrivez sur un papier votre identité, le message chiffré et le destinataire. Envoyez-le !
2. Réception d'un message : À la réception d'un message, appliquez l'algorithme de déchiffrement. Quelqu'un d'autre sur la route du message pouvait-il obtenir le clair de ce message ?

Signature et vérification

Description

Nous allons signer des chaînes de caractères. Pour cela, chaque lettre est remplacée par son rang dans l'alphabet. Pour un message m = (m₀, ..., m_i) avec (m₀, ..., m_i) les rangs de chaque lettre (attention, on ne fait plus des blocs de 3 chiffres ici), le haché h(m) est calculé par l'algorithme suivant :

h = 2;
for (j=0; j<i; j++) {
	h = h * 2;
	h = h + m[j];
}
return h%1000;

La valeur de la signature vaut alors h(m)^d[n]. Attention, (d,n) représente une clé privée, mais celle de qui ? Le haché de "crypto" vaut par exemple 831 et la signature par (463,1147) est 335.

Le message est alors envoyé accompagné de sa signature. La vérification d'un message reçu m signé avec sig est opérée de la manière suivante :

• Calculer h(m) par rapport au m reçu
• Calculer sig^e[n]
• Vérifier que h(m) == sig^e[n] sur le message reçu

Mise en pratique

Vous allez maintenant transmettre un message clair (non chiffré) signé à un étudiant éloigné. La signature permet de vérifier l'intégrité du message transmis. Imaginez qu'il serait normalement transmis par des routeurs intermédiaires, qui auraient pu être vos collègues, mais nous privilégions ici une transmission directe en raison des règles sanitaires.

1. Envoi de votre message : Signez un message de votre choix avec le cryptosystème proposé. Inscrivez sur un papier votre identité, le message clair, la signature et le destinataire. Envoyez-le !
2. Réception d'un message : À la réception d'un message, appliquez l'algorithme de vérification de la signature. Le message reçu est-il intègre ? Si non, quelle attaque avez-vous détectée ? Un attaquant pouvait-il l'altérer en chemin ?

Bonus : Attaques sur le cryptosystème proposé

Étudiez et testez quelques attaques sur le système mis en place :

• Modification de message en conservant la validité de la signature
• Attaque de la clé privée (par factorisation de n par exemple)

Toutes ces attaques sont possibles ici. Réfléchissez à leur cause et aux protections mises en place dans les cryptosystèmes réels. Implémentez une (ou plusieurs) attaque dans le langage de votre choix, proposez une contre-mesure et évaluez la complexité rajoutée par votre contre-mesure.