CM2 Codage des nombres - Notes de cours
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Quizz : Combien vaut 0.1 + 0.2 ?
- 0
- -0
- 0.3
- 0.30000000000004

Aujourd'hui on va répondre à cette question...


Encore et toujours du binaire
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- Élément de base : binaire
- Regroupés en octets (8 bits)
- Qu'on peut regrouper encore (par exemple 4 octets = 32 bits, 8 octets = 64 bits)
- Sur 4 octets par exemple, 2<sup>32</sup> possibilités, ça ne va pas nous permettre de calculer jusqu'à l'infini...
  - 2 bits : 2 valeurs (0 et 1)
  - 8 bits : 256 valeurs (de 0 à 255) -> une partie d'IPv4, une table de caractères
  - 16 bits : 65 536 valeurs (de 0 à 65 535)
  - 32 bits : 4 294 967 296 valeurs -> le nombre d'IPv4, la limite à 4GB de RAM des machines/OS 32 bits

La notion de type
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- Langage typé ou non, chaque donnée (nombre) est une interprétation d'un code binaire par rapport à un type
  - Langage typé (fortement) ≃ le développeur explicite les types
  - Langage non typé (faiblement typé) ≃ le développeur n'explicite pas les types
  - Mais les types sont toujours là en-dessous !!!
  - Pour rire un peu : [c'est le bazar](https://fr.wikipedia.org/wiki/Typage_fort)

- Les types de base : ceux du C, ceux qui sont compris par les microprocesseurs, donc calcul natif et donc rapide
  - int (pour les entiers)
  - float, double (pour les réels)
  - char (pour les... octets !)
- Les types construits : on les construit à la main par composition de ces types de base
  - les nombres complexes
  - les grands entiers (de taille non limitée)
  - les coordonnées d'un point
  - ...

- Les types de taille fixe (dont les types de base)
- Les types de taille variable/infinie (des types construits, les nombres que l'on écrit au crayon sur une feuille !)

- Mapper cet infini habituel sur nos feuilles vers un ordinateur : KO !

Les entiers
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Ici, 0.1 + 0.2 = 0 ([int.c](cm2-nombres-code/int.c))

Représentation des entiers positifs
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- Changement de base "simple" (TD2)
- 155<sub>10</sub> -> 1001 1011<sub>2</sub> (0x9B)

Exemple simple d'addition :
- 155 + 3 = 158
- 1001 1011 + 0000 0011 = 1001 1110

Mais le débordement ([char.c](cm2-nombres-code/char.c)) :
- 155 + 155 = 310
- **MAIS** 1001 1011 + 1001 1011 = 1 0011 0110 -> 0011 0110 = 54 (= 310 - 256)


Représentation des entiers relatifs
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- Valeur absolue signée
  - Un bit de signe puis la valeur absolue
  - Sur 1 octet : 1 bit de signe, 7 bits de valeur
  - 1001 1011 -> -27 ;-)
  - Convention d'interprétation du binaire par le type...
  - 0000 0000 -> 0, 1000 000 -> -0 => 0.1 + 0.2 == -0
  - Pas très pratique...

- Complément à 2
  - Un seul 0 : 0000 0000
  - 1 -> 0000 0001
  - -1 -> 1111 1111
  - 127 -> 0111 1111
  - -128 -> 1000 0000
  - Pratique (et utilisé pour les types entiers) car :
    - un seul 0
    - les opérations sont identiques à celles pour un entier non signé
  - Détails [ici](https://fr.wikipedia.org/wiki/Compl%C3%A9ment_%C3%A0_deux)

- Débordement ([char2.c](cm2-nombres-code/char2.c)) :
  - 127 + 1 = 128
  - 0111 1111 + 0000 0001 = 1000 0000 -> -128


Les réels
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Ici, 0.1 + 0.2 = 0.30000000000004 ([détails ici](https://0.30000000000000004.com/)) ([double.c](cm2-nombres-code/double.c))


Virgule fixe
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- Un réel = une partie entière et une partie fractionnaire séparés par une ','
- On code par exemple sur 2 octets :
  - 1 octet pour la partie réelle en complément à 2 (entier relatif)
  - 1 octet pour la partie fractionnaire en inverse : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, etc. (était en décimal 1/10, 1/100, 1/1000, etc.)
  - Il n'y a pas 1/10 ! -> On ne peut que s'approcher de 0.1, 0.2 et 0.3...
- Comme on écrit des nombres en décimal et qu'on les approxime avec des 1/2, 1/4, 1/8, etc. :
  - 0.1 n'est pas exactement 0.1
  - 0.2 n'est pas exactement 0.2
  - donc 0.1 + 0.2 n'est pas exactement 0.3
  - Note : un nombre en binaire sera aussi approximé pour repasser en base 10...
- L'approximation n'est pas forcément visible car nous utilisons une précision assez grande mais elle est là
- => Pas de calcul décimal exact en réels, **pas de tests d'égalités** !!!
  - égalités entre entiers seulement
  - au pire test d'écart à la valeur recherchée (mais c'est critiqué)
- Utilisé en pratique si pas mieux dispo (micro-contrôleur sans unité à virgule flottante par exemple)


Virgule flottante
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- Signe (1 bit), exposant, mantisse
- Nombre = signe * mantisse * 2<sup>exposant</sup>
- En C, float (32 bits, peu précis à l'usage) et double (64 bits, plus précis)
- Exemple du double : 1 bit de signe, 11 bits d'exposant, 52 bits de mantisse (norme IEE754)
- Les mêmes approximations que précédemment ! (et donc pas non plus de tests d'égalité !!!)
- Couramment utilisé


Pour approfondir
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Pour aller au-delà de ces limites, il faudra utiliser des biblothèques/logiciels dédiés au calcul, par exemple [SageMath](https://www.sagemath.org/). Ici, on pourra avoir 0.1 + 0.2 = 3. Les nombres ne sont alors plus représentés comme les types de base vus précédemment qui sont les seuls sur lesquels savent calculer les CPU classiques. Points d'attention :
- les calculs sont plus lents, car un calcul SageMath impliquera plusieurs calculs sur des types de base au niveau CPU
- les types que vous manipulerez par défaut dans les langages de programmation les plus courants sont uniquement les types de base, efficaces mais donc inexacts.


Annexes
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- [Entiers, virgules flottantes ou représentations exotiques ... (Olivier Poncet et Fabien Trégan, DevoxxFR 2022)](https://www.youtube.com/watch?v=1upzDFFIODk). Vidéo de 45 minutes, dont 15 premières minutes sur le programme de cette séance.