From 0edc325d2454b79386db8319aee4bc7a5d3cc477 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Francois Lesueur Date: Mon, 5 Sep 2022 14:31:54 +0200 Subject: [PATCH] ajout cm2 --- cm2-nombres.md | 136 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 136 insertions(+) create mode 100644 cm2-nombres.md diff --git a/cm2-nombres.md b/cm2-nombres.md new file mode 100644 index 0000000..cab7df3 --- /dev/null +++ b/cm2-nombres.md @@ -0,0 +1,136 @@ +CM2 Codage des nombres - Notes de cours +======================================= + +Quizz : Combien vaut 0.1 + 0.2 ? +- 0 +- -0 +- 0.3 +- 0.30000000000004 + +Aujourd'hui on va répondre à cette question... + + +Encore et toujours du binaire +============================= + +- Élément de base : binaire +- Regroupés en octets (8 bits) +- Qu'on peut regrouper encore (par exemple 4 octets = 32 bits, 8 octets = 64 bits) +- Sur 4 octets par exemple, 232 possibilités, ça ne va pas nous permettre de calculer jusqu'à l'infini... + - 2 bits : 2 valeurs (0 et 1) + - 8 bits : 256 valeurs (de 0 à 255) -> une partie d'IPv4, une table de caractères + - 16 bits : 65 536 valeurs (de 0 à 65 535) + - 32 bits : 4 294 967 296 valeurs -> le nombre d'IPv4, la limite à 4GB de RAM des machines/OS 32 bits + +La notion de type +================= + +- Langage typé ou non, chaque donnée (nombre) est une interprétation d'un code binaire par rapport à un type + - Langage typé (fortement) ≃ le développeur explicite les types + - Langage non typé (faiblement typé) ≃ le développeur n'explicite pas les types + - Mais les types sont toujours là en-dessous !!! + - Pour rire un peu : [c'est le bazar](https://fr.wikipedia.org/wiki/Typage_fort) + +- Les types de base : ceux du C, ceux qui sont compris par les microprocesseurs, donc calcul natif et donc rapide + - int (pour les entiers) + - float, double (pour les réels) + - char (pour les... octets !) +- Les types construits : on les construit à la main par composition de ces types de base + - les nombres complexes + - les grands entiers (de taille non limitée) + - les coordonnées d'un point + - ... + +- Les types de taille fixe (dont les types de base) +- Les types de taille variable/infinie (des types construits, les nombres que l'on écrit au crayon sur une feuille !) + +- Mapper cet infini habituel sur nos feuilles vers un ordinateur : KO ! + +Les entiers +=========== + +Ici, 0.1 + 0.2 = 0 (int.c) + +Représentation des entiers positifs +----------------------------------- + +- Changement de base "simple" (TD2) +- 15510 -> 1001 10112 (0x9B) + +Exemple simple d'addition (char.c) : +- 155 + 3 = 158 +- 1001 1011 + 0000 0011 = 1001 1110 + +Mais le débordement : +- 155 + 155 = 310 +- **MAIS** 1001 1011 + 1001 1011 = 1 0011 0110 -> 0011 0110 = 54 (= 310 - 256) + + +Représentation des entiers relatifs +----------------------------------- + +- Valeur absolue signée + - Un bit de signe puis la valeur absolue + - Sur 1 octet : 1 bit de signe, 7 bits de valeur + - 1001 1011 -> -27 ;-) + - Convention d'interprétation du binaire par le type... + - 0000 0000 -> 0, 1000 000 -> -0 => 0.1 + 0.2 == -0 (int2.c) + - Pas très pratique... + +- Complément à 2 + - Un seul 0 : 0000 0000 + - 1 -> 0000 0001 + - -1 -> 1111 1111 + - 127 -> 0111 1111 + - -128 -> 1000 0000 + - Pratique (et utilisé pour les types entiers) car : + - un seul 0 + - les opérations sont identiques à celles pour un entier non signé + - Détails [ici](https://fr.wikipedia.org/wiki/Compl%C3%A9ment_%C3%A0_deux) + +- Débordement (char2.c) : + - 127 + 1 = 128 + - 0111 1111 + 0000 0001 = 1000 0000 -> -128 + + +Les réels +========= + +Ici, 0.1 + 0.2 = 0.30000000000004 ([détails ici](https://0.30000000000000004.com/)) (double.c) + + +Virgule fixe +------------ + +- Un réel = une partie entière et une partie fractionnaire séparés par une ',' +- On code par exemple sur 2 octets : + - 1 octet pour la partie réelle en complément à 2 (entier relatif) + - 1 octet pour la partie fractionnaire en inverse : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, etc. (était en décimal 1/10, 1/100, 1/1000, etc.) + - Il n'y a pas 1/10 ! -> On ne peut que s'approcher de 0.1, 0.2 et 0.3... +- Comme on écrit des nombres en décimal et qu'on les approxime avec des 1/2, 1/4, 1/8, etc. : + - 0.1 n'est pas exactement 0.1 + - 0.2 n'est pas exactement 0.2 + - donc 0.1 + 0.2 n'est pas exactement 0.3 + - Note : un nombre en binaire sera aussi approximé pour repasser en base 10... +- L'approximation n'est pas forcément visible car nous utilisons une précision assez grande mais elle est là +- => Pas de calcul décimal exact en réels, **pas de tests d'égalités** !!! + - égalités entre entiers seulement + - au pire test d'écart à la valeur recherchée (mais c'est critiqué) +- Utilisé en pratique si pas mieux dispo (micro-contrôleur sans unité à virgule flottante par exemple) + + +Virgule flottante +----------------- + +- Signe (1 bit), exposant, mantisse +- Nombre = signe * mantisse * 2exposant +- En C, float (32 bits, peu précis à l'usage) et double (64 bits, plus précis) +- Exemple du double : 1 bit de signe, 11 bits d'exposant, 52 bits de mantisse (norme IEE754) +- Les mêmes approximations que précédemment ! (et donc pas non plus de tests d'égalité !!!) +- Couramment utilisé + + +Annexes +======= + +- [Entiers, virgules flottantes ou représentations exotiques ... (Olivier Poncet et Fabien Trégan, DevoxxFR 2022)](https://www.youtube.com/watch?v=1upzDFFIODk). Vidéo de 45 minutes, dont 15 premières minutes sur le programme de cette séance.