TD2.1 : Usage de la cryptographie asymétrique
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_Pas de compte-rendu pour ce TD_

Ce TD présente et applique les notions de cryptographie asymétrique :

* Génération de clés RSA
* Distribution de clés
* Signature et chiffrement RSA

Le cryptosystème que nous allons utiliser ici est basé sur la fonction RSA. Le cryptosystème proposé est simple et présente donc certaines vulnérabilités mais illustre le fonctionnement.


Génération de clés RSA
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Nous allons commencer par générer une paire de clés RSA pour chacun. Voici l'algorithme simplifié de génération de clés RSA (en réalité, d'autres tests doivent être réalisés) :

* Choisir deux nombres premiers _p_ et _q_ ([exemples de premiers](https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_nombres_premiers))
* Calculer _n = p * q_ (__Attention, pour que la suite du TD fonctionne, n doit être supérieur à 1000 !__)
* Calculer _φ(n) = (p-1)(q-1)_
* Choisir _e_ tel que :
	* _1 < e < &phi;(n)_
	* _pgcd(e, &phi;(n)) = 1_
	* Par exemple, un premier qui ne divise pas &phi;(n)
* Déterminer l'inverse modulaire _d &equiv; e<sup>-1</sup> mod &phi;(n)_. Vous pouvez utiliser [DCODE](https://www.dcode.fr/inverse-modulaire) pour cela (attention, pas le `pow` Python pour ça, sauf si vous êtes *certain* d'avoir une version de python supérieure ou égale à 3.8 !) <!-- Vous pouvez utiliser [Wolfram Alpha](http://www.wolframalpha.com), avec une requête de la forme `7 ^ -1 mod 1147` (attention, pas le `pow` Python pour ça !) -->
* La clé publique est _(e,n)_ et la clé privée est _(d,n)_

Gardez votre clé privée secrète et transmettez votre clé publique avec votre nom à l'enseignant, sur un papier. Elle sera inscrite au tableau (la "PKI").

Les exemples dans la suite du sujet sont réalisés avec p=31, q=37, n=1147, &phi;(n)=1080, e=7, d=463. La clé publique est _(e,n)_, ici _(7,1147)_, et la clé privée est _(d,n)_, ici _(463,1147)_.

<!-- Code Python pour calculer _a<sup>-1</sup> mod b_ : `modinv(a,b)` disponible [ici](modinv.py) -->

Rappel : la propriété utilisée est que pour tout message _m, m<sup>de</sup>[n] = m_.

Chiffrement et déchiffrement
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Description
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Nous allons chiffrer des chaînes de caractères. Pour cela, chaque lettre est remplacée par son rang dans l'alphabet, sur 2 chiffres :

|a|b|c|d|e|f|g|h|i|j|k|l|m|n|o|p|q|r|s|t|u|v|w|x|y|z|_|
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|13|14|15|16|17|18|19|20|21|22|23|24|25|26|27|

Par exemple, "crypto" devient `03 18 25 16 20 15`

Ensuite, afin de ne pas retomber dans un chiffrement par substitution simple, les chiffres sont assemblés par blocs de 3 (complété éventuellement de 0 à la fin), ainsi `03 18 25 16 20 15` devient `031 825 162 015`.

Enfin, chaque bloc clair de 3 chiffres est chiffré indépendamment par la fonction RSA : bloc<sub>chiffré</sub> = bloc<sub>clair</sub><sup>e</sup>[n]. Attention, _(e,n)_ représente une clé publique, mais celle de qui ? L'utilisation de la clé _(7,1147)_ donne le chiffré `1116 751 245 1108`.

> Pour calculer les exponentiations modulaires, vous pouvez utiliser python (dans l'interpréteur, tapez `pow(a,b,c)` pour obtenir a<sup>b</sup>[c]) ou [DCODE](https://www.dcode.fr/exponentiation-modulaire)<!--[Wolfram Alpha](http://www.wolframalpha.com)-->. Attention, lors des calculs, n'écrivez pas de '0' en début d'entier. Par exemple, pour le bloc clair `031`, tapez `pow(31,7,1147)`. Commencer un entier par '0' le fait interpréter comme un nombre encodé en _octal_ (même principe qu'un nombre commençant par '0x' qui est interprété comme un hexadécimal).


Le déchiffrement est opéré de manière analogue, en utilisant la clé privée au lieu de la clé publique. Chaque bloc clair est réobtenu à partir du bloc chiffré par le calcul : bloc<sub>clair</sub> = bloc<sub>chiffré</sub><sup>d</sup>[n]

Mise en pratique
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Vous allez maintenant transmettre un message chiffré à un étudiant éloigné (en vous déplaçant). Le chiffrement assure la _confidentialité_ du message transmis. Imaginez qu'il serait normalement transmis par des routeurs intermédiaires, qui auraient pu être vos collègues, mais nous privilégions ici une transmission directe en raison des règles sanitaires.

1. **Envoi de votre message** : Chiffrez un message de votre choix avec le cryptosystème proposé. Inscrivez sur un papier votre identité, le message chiffré et le destinataire. Envoyez-le !
2. **Réception d'un message** : À la réception d'un message, appliquez l'algorithme de déchiffrement. Quelqu'un d'autre sur la route du message pouvait-il obtenir le clair de ce message ?

<!-- 2. **Routage des autres messages** : Que fait un routeur ? Il lit un message, l'analyse, décide où l'envoyer puis le reproduit. De manière analogue, vous allez pour chaque saut retransmettre le message entrant mais vous pouvez le lire avant de le retransmettre. Pouvez-vous en déduire des informations ? -->

Signature et vérification
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Description
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Nous allons signer des chaînes de caractères. Pour cela, chaque lettre est remplacée par son rang dans l'alphabet. Pour un message _m = (m<sub>0</sub>, ..., m<sub>i</sub>)_ avec _(m<sub>0</sub>, ..., m<sub>i</sub>)_ les rangs de chaque lettre (attention, on ne fait plus des blocs de 3 chiffres ici), le haché _h(m)_ est calculé par l'algorithme suivant :

	h = 2;
	for (j=0; j<i; j++) {
		h = h * 2;
		h = h + m[j];
	}
	return h%1000;

La valeur de la signature vaut alors _h(m)<sup>d</sup>[n]_. Attention, _(d,n)_ représente une clé privée, mais celle de qui ? Le haché de "crypto" vaut par exemple 831 et la signature par _(463,1147)_ est 335.

Le message est alors envoyé accompagné de sa signature. La vérification d'un message reçu _m_ signé avec _sig_ est opérée de la manière suivante :

* Calculer _h(m)_ par rapport au _m_ reçu
* Calculer _sig<sup>e</sup>[n]_
* Vérifier que _h(m) == sig<sup>e</sup>[n]_ sur le message reçu


Mise en pratique
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Vous allez maintenant transmettre un message clair (non chiffré) signé à un étudiant éloigné. La signature permet de vérifier l'_intégrité_ du message transmis. Imaginez qu'il serait normalement transmis par des routeurs intermédiaires, qui auraient pu être vos collègues, mais nous privilégions ici une transmission directe en raison des règles sanitaires.

1. **Envoi de votre message** : Signez un message de votre choix avec le cryptosystème proposé. Inscrivez sur un papier votre identité, le message clair, la signature et le destinataire. Envoyez-le !
2. **Réception d'un message** : À la réception d'un message, appliquez l'algorithme de vérification de la signature. Le message reçu est-il intègre ? Si non, quelle attaque avez-vous détectée ? Un attaquant pouvait-il l'altérer en chemin ?

<!-- 2. **Routage des autres messages** : Utilisez le même protocole multi-saut que précédemment. Pour chaque saut, recopiez le message entrant sur un autre papier puis retransmettez ce second papier. -->


Bonus : Attaques sur le cryptosystème proposé
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Étudiez et testez quelques attaques sur le système mis en place :

* Modification de message en conservant la validité de la signature
* Attaque de la clé privée (par factorisation de _n_ par exemple)


Toutes ces attaques sont possibles ici. Réfléchissez à leur cause et aux protections mises en place dans les cryptosystèmes réels. Implémentez une (ou plusieurs) attaque dans le langage de votre choix, proposez une contre-mesure et évaluez la complexité rajoutée par votre contre-mesure.

![Don't roll your own crypto](https://image.slidesharecdn.com/signal-publickeycrypto-181018000453/95/signal-practical-cryptography-40-638.jpg?cb=1539821143)