145 lines
6.0 KiB
Markdown
145 lines
6.0 KiB
Markdown
CM2 Codage des nombres - Notes de cours
|
|
=======================================
|
|
|
|
Quizz : Combien vaut 0.1 + 0.2 ?
|
|
- 0
|
|
- -0
|
|
- 0.3
|
|
- 0.30000000000004
|
|
|
|
Aujourd'hui on va répondre à cette question...
|
|
|
|
|
|
Encore et toujours du binaire
|
|
=============================
|
|
|
|
- Élément de base : binaire
|
|
- Regroupés en octets (8 bits)
|
|
- Qu'on peut regrouper encore (par exemple 4 octets = 32 bits, 8 octets = 64 bits)
|
|
- Sur 4 octets par exemple, 2<sup>32</sup> possibilités, ça ne va pas nous permettre de calculer jusqu'à l'infini...
|
|
- 2 bits : 2 valeurs (0 et 1)
|
|
- 8 bits : 256 valeurs (de 0 à 255) -> une partie d'IPv4, une table de caractères
|
|
- 16 bits : 65 536 valeurs (de 0 à 65 535)
|
|
- 32 bits : 4 294 967 296 valeurs -> le nombre d'IPv4, la limite à 4GB de RAM des machines/OS 32 bits
|
|
|
|
La notion de type
|
|
=================
|
|
|
|
- Langage typé ou non, chaque donnée (nombre) est une interprétation d'un code binaire par rapport à un type
|
|
- Langage typé (fortement) ≃ le développeur explicite les types
|
|
- Langage non typé (faiblement typé) ≃ le développeur n'explicite pas les types
|
|
- Mais les types sont toujours là en-dessous !!!
|
|
- Pour rire un peu : [c'est le bazar](https://fr.wikipedia.org/wiki/Typage_fort)
|
|
|
|
- Les types de base : ceux du C, ceux qui sont compris par les microprocesseurs, donc calcul natif et donc rapide
|
|
- int (pour les entiers)
|
|
- float, double (pour les réels)
|
|
- char (pour les... octets !)
|
|
- Les types construits : on les construit à la main par composition de ces types de base
|
|
- les nombres complexes
|
|
- les grands entiers (de taille non limitée)
|
|
- les coordonnées d'un point
|
|
- ...
|
|
|
|
- Les types de taille fixe (dont les types de base)
|
|
- Les types de taille variable/infinie (des types construits, les nombres que l'on écrit au crayon sur une feuille !)
|
|
|
|
- Mapper cet infini habituel sur nos feuilles vers un ordinateur : KO !
|
|
|
|
Les entiers
|
|
===========
|
|
|
|
Ici, 0.1 + 0.2 = 0 ([int.c](cm2-nombres-code/int.c))
|
|
|
|
Représentation des entiers positifs
|
|
-----------------------------------
|
|
|
|
- Changement de base "simple" (TD2)
|
|
- 155<sub>10</sub> -> 1001 1011<sub>2</sub> (0x9B)
|
|
|
|
Exemple simple d'addition :
|
|
- 155 + 3 = 158
|
|
- 1001 1011 + 0000 0011 = 1001 1110
|
|
|
|
Mais le débordement ([char.c](cm2-nombres-code/char.c)) :
|
|
- 155 + 155 = 310
|
|
- **MAIS** 1001 1011 + 1001 1011 = 1 0011 0110 -> 0011 0110 = 54 (= 310 - 256)
|
|
|
|
|
|
Représentation des entiers relatifs
|
|
-----------------------------------
|
|
|
|
- Valeur absolue signée
|
|
- Un bit de signe puis la valeur absolue
|
|
- Sur 1 octet : 1 bit de signe, 7 bits de valeur
|
|
- 1001 1011 -> -27 ;-)
|
|
- Convention d'interprétation du binaire par le type...
|
|
- 0000 0000 -> 0, 1000 000 -> -0 => 0.1 + 0.2 == -0
|
|
- Pas très pratique...
|
|
|
|
- Complément à 2
|
|
- Un seul 0 : 0000 0000
|
|
- 1 -> 0000 0001
|
|
- -1 -> 1111 1111
|
|
- 127 -> 0111 1111
|
|
- -128 -> 1000 0000
|
|
- Pratique (et utilisé pour les types entiers) car :
|
|
- un seul 0
|
|
- les opérations sont identiques à celles pour un entier non signé
|
|
- Détails [ici](https://fr.wikipedia.org/wiki/Compl%C3%A9ment_%C3%A0_deux)
|
|
|
|
- Débordement ([char2.c](cm2-nombres-code/char2.c)) :
|
|
- 127 + 1 = 128
|
|
- 0111 1111 + 0000 0001 = 1000 0000 -> -128
|
|
|
|
|
|
Les réels
|
|
=========
|
|
|
|
Ici, 0.1 + 0.2 = 0.30000000000004 ([détails ici](https://0.30000000000000004.com/)) ([double.c](cm2-nombres-code/double.c))
|
|
|
|
|
|
Virgule fixe
|
|
------------
|
|
|
|
- Un réel = une partie entière et une partie fractionnaire séparés par une ','
|
|
- On code par exemple sur 2 octets :
|
|
- 1 octet pour la partie réelle en complément à 2 (entier relatif)
|
|
- 1 octet pour la partie fractionnaire en inverse : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, etc. (était en décimal 1/10, 1/100, 1/1000, etc.)
|
|
- Il n'y a pas 1/10 ! -> On ne peut que s'approcher de 0.1, 0.2 et 0.3...
|
|
- Comme on écrit des nombres en décimal et qu'on les approxime avec des 1/2, 1/4, 1/8, etc. :
|
|
- 0.1 n'est pas exactement 0.1
|
|
- 0.2 n'est pas exactement 0.2
|
|
- donc 0.1 + 0.2 n'est pas exactement 0.3
|
|
- Note : un nombre en binaire sera aussi approximé pour repasser en base 10...
|
|
- L'approximation n'est pas forcément visible car nous utilisons une précision assez grande mais elle est là
|
|
- => Pas de calcul décimal exact en réels, **pas de tests d'égalités** !!!
|
|
- égalités entre entiers seulement
|
|
- au pire test d'écart à la valeur recherchée (mais c'est critiqué)
|
|
- Utilisé en pratique si pas mieux dispo (micro-contrôleur sans unité à virgule flottante par exemple)
|
|
|
|
|
|
Virgule flottante
|
|
-----------------
|
|
|
|
- Signe (1 bit), exposant, mantisse
|
|
- Nombre = signe * mantisse * 2<sup>exposant</sup>
|
|
- En C, float (32 bits, peu précis à l'usage) et double (64 bits, plus précis)
|
|
- Exemple du double : 1 bit de signe, 11 bits d'exposant, 52 bits de mantisse (norme IEE754)
|
|
- Les mêmes approximations que précédemment ! (et donc pas non plus de tests d'égalité !!!)
|
|
- Couramment utilisé
|
|
|
|
|
|
Calcul exact (bonus, hors programme)
|
|
------------------------------------
|
|
|
|
Pour aller au-delà de ces limites, il faudra utiliser des biblothèques/logiciels dédiés au calcul, par exemple [SageMath](https://www.sagemath.org/), [Calcium](https://fredrikj.net/calcium/), du décimal codé binaire (DCB) ou encore les [fractions python](https://docs.python.org/3/library/fractions.html) (mais c'est une autre histoire...). Ici, on pourra avoir 0.1 + 0.2 = 3. Les nombres ne sont alors plus représentés comme les types de base vus précédemment qui sont les seuls sur lesquels savent calculer les CPU classiques, mais comme des types construits à plus haut niveau. Points d'attention :
|
|
- les calculs sont plus lents, car un calcul de ce type construit impliquera plusieurs calculs sur des types de base au niveau CPU
|
|
- les types que vous manipulerez par défaut dans les langages de programmation les plus courants sont uniquement les types de base, efficaces mais donc inexacts.
|
|
|
|
|
|
Annexes
|
|
=======
|
|
|
|
- [Entiers, virgules flottantes ou représentations exotiques ... (Olivier Poncet et Fabien Trégan, DevoxxFR 2022)](https://www.youtube.com/watch?v=1upzDFFIODk). Vidéo de 45 minutes, dont 15 premières minutes sur le programme de cette séance.
|