CM2 Codage des nombres - Notes de cours

Quizz : Combien vaut 0.1 + 0.2 ?

0
-0
0.3
0.30000000000004

Aujourd'hui on va répondre à cette question...

Encore et toujours du binaire

Élément de base : binaire
Regroupés en octets (8 bits)
Qu'on peut regrouper encore (par exemple 4 octets = 32 bits, 8 octets = 64 bits)
Sur 4 octets par exemple, 2³² possibilités, ça ne va pas nous permettre de calculer jusqu'à l'infini...
- 2 bits : 2 valeurs (0 et 1)
- 8 bits : 256 valeurs (de 0 à 255) -> une partie d'IPv4, une table de caractères
- 16 bits : 65 536 valeurs (de 0 à 65 535)
- 32 bits : 4 294 967 296 valeurs -> le nombre d'IPv4, la limite à 4GB de RAM des machines/OS 32 bits

La notion de type

Langage typé ou non, chaque donnée (nombre) est une interprétation d'un code binaire par rapport à un type
- Langage typé (fortement) ≃ le développeur explicite les types
- Langage non typé (faiblement typé) ≃ le développeur n'explicite pas les types
- Mais les types sont toujours là en-dessous !!!
- Pour rire un peu : c'est le bazar
Les types de base : ceux du C, ceux qui sont compris par les microprocesseurs, donc calcul natif et donc rapide
- int (pour les entiers)
- float, double (pour les réels)
- char (pour les... octets !)
Les types construits : on les construit à la main par composition de ces types de base
- les nombres complexes
- les grands entiers (de taille non limitée)
- les coordonnées d'un point
- ...
Les types de taille fixe (dont les types de base)
Les types de taille variable/infinie (des types construits, les nombres que l'on écrit au crayon sur une feuille !)
Mapper cet infini habituel sur nos feuilles vers un ordinateur : KO !

Les entiers

Ici, 0.1 + 0.2 = 0 (int.c)

Représentation des entiers positifs

Changement de base "simple" (TD2)
155₁₀ -> 1001 1011₂ (0x9B)

Exemple simple d'addition :

155 + 3 = 158
1001 1011 + 0000 0011 = 1001 1110

Mais le débordement (char.c) :

155 + 155 = 310
MAIS 1001 1011 + 1001 1011 = 1 0011 0110 -> 0011 0110 = 54 (= 310 - 256)

Représentation des entiers relatifs

Valeur absolue signée
- Un bit de signe puis la valeur absolue
- Sur 1 octet : 1 bit de signe, 7 bits de valeur
- 1001 1011 -> -27 ;-)
- Convention d'interprétation du binaire par le type...
- 0000 0000 -> 0, 1000 000 -> -0 => 0.1 + 0.2 == -0
- Pas très pratique...
Complément à 2
- Un seul 0 : 0000 0000
- 1 -> 0000 0001
- -1 -> 1111 1111
- 127 -> 0111 1111
- -128 -> 1000 0000
- Pratique (et utilisé pour les types entiers) car :
  - un seul 0
  - les opérations sont identiques à celles pour un entier non signé
- Détails ici
Débordement (char2.c) :
- 127 + 1 = 128
- 0111 1111 + 0000 0001 = 1000 0000 -> -128

Les réels

Ici, 0.1 + 0.2 = 0.30000000000004 (détails ici) (double.c)

Virgule fixe

Un réel = une partie entière et une partie fractionnaire séparés par une ','
On code par exemple sur 2 octets :
- 1 octet pour la partie réelle en complément à 2 (entier relatif)
- 1 octet pour la partie fractionnaire en inverse : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, etc. (était en décimal 1/10, 1/100, 1/1000, etc.)
- Il n'y a pas 1/10 ! -> On ne peut que s'approcher de 0.1, 0.2 et 0.3...
Comme on écrit des nombres en décimal et qu'on les approxime avec des 1/2, 1/4, 1/8, etc. :
- 0.1 n'est pas exactement 0.1
- 0.2 n'est pas exactement 0.2
- donc 0.1 + 0.2 n'est pas exactement 0.3
- Note : un nombre en binaire sera aussi approximé pour repasser en base 10...
L'approximation n'est pas forcément visible car nous utilisons une précision assez grande mais elle est là
=> Pas de calcul décimal exact en réels, pas de tests d'égalités !!!
- égalités entre entiers seulement
- au pire test d'écart à la valeur recherchée (mais c'est critiqué, les incertitudes ne se propagent pas d'une bonne manière)
Utilisé en pratique si pas mieux dispo (micro-contrôleur sans unité à virgule flottante par exemple)

Virgule flottante

Signe (1 bit), exposant, mantisse
Nombre = signe * mantisse * 2^exposant
En C, float (32 bits, peu précis à l'usage) et double (64 bits, plus précis)
Exemple du double : 1 bit de signe, 11 bits d'exposant, 52 bits de mantisse (norme IEE754)
Les mêmes approximations que précédemment ! (et donc pas non plus de tests d'égalité !!!)
Couramment utilisé
(floatdouble.c)

Calcul exact (bonus, hors programme)

Pour aller au-delà de ces limites, il faudra utiliser des biblothèques/logiciels dédiés au calcul, par exemple SageMath, Calcium, du décimal codé binaire (DCB) ou encore les fractions python (mais c'est une autre histoire...). Ici, on pourra avoir 0.1 + 0.2 = 3. Les nombres ne sont alors plus représentés comme les types de base vus précédemment qui sont les seuls sur lesquels savent calculer les CPU classiques, mais comme des types construits à plus haut niveau. Points d'attention :

les calculs sont plus lents, car un calcul de ce type construit impliquera plusieurs calculs sur des types de base au niveau CPU
les types que vous manipulerez par défaut dans les langages de programmation les plus courants sont uniquement les types de base, efficaces mais donc inexacts.

Annexes

Entiers, virgules flottantes ou représentations exotiques ... (Olivier Poncet et Fabien Trégan, DevoxxFR 2022). Vidéo de 45 minutes, dont 15 premières minutes sur le programme de cette séance.

6.1 KiB Raw Blame History