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CM2 Codage des nombres - Notes de cours
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Quizz : Combien vaut 0.1 + 0.2 ?
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- 0
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- -0
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- 0.3
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- 0.30000000000004
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Aujourd'hui on va répondre à cette question...
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Encore et toujours du binaire
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- Élément de base : binaire
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- Regroupés en octets (8 bits)
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- Qu'on peut regrouper encore (par exemple 4 octets = 32 bits, 8 octets = 64 bits)
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- Sur 4 octets par exemple, 2<sup>32</sup> possibilités, ça ne va pas nous permettre de calculer jusqu'à l'infini...
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- 2 bits : 2 valeurs (0 et 1)
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- 8 bits : 256 valeurs (de 0 à 255) -> une partie d'IPv4, une table de caractères
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- 16 bits : 65 536 valeurs (de 0 à 65 535)
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- 32 bits : 4 294 967 296 valeurs -> le nombre d'IPv4, la limite à 4GB de RAM des machines/OS 32 bits
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La notion de type
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- Langage typé ou non, chaque donnée (nombre) est une interprétation d'un code binaire par rapport à un type
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- Langage typé (fortement) ≃ le développeur explicite les types
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- Langage non typé (faiblement typé) ≃ le développeur n'explicite pas les types
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- Mais les types sont toujours là en-dessous !!!
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- Pour rire un peu : [c'est le bazar](https://fr.wikipedia.org/wiki/Typage_fort)
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- Les types de base : ceux du C, ceux qui sont compris par les microprocesseurs, donc calcul natif et donc rapide
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- int (pour les entiers)
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- float, double (pour les réels)
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- char (pour les... octets !)
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- Les types construits : on les construit à la main par composition de ces types de base
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- les nombres complexes
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- les grands entiers (de taille non limitée)
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- les coordonnées d'un point
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- ...
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- Les types de taille fixe (dont les types de base)
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- Les types de taille variable/infinie (des types construits, les nombres que l'on écrit au crayon sur une feuille !)
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- Mapper cet infini habituel sur nos feuilles vers un ordinateur : KO !
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Les entiers
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Ici, 0.1 + 0.2 = 0 (int.c)
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Représentation des entiers positifs
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- Changement de base "simple" (TD2)
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- 155<sub>10</sub> -> 1001 1011<sub>2</sub> (0x9B)
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Exemple simple d'addition (char.c) :
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- 155 + 3 = 158
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- 1001 1011 + 0000 0011 = 1001 1110
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Mais le débordement :
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- 155 + 155 = 310
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- **MAIS** 1001 1011 + 1001 1011 = 1 0011 0110 -> 0011 0110 = 54 (= 310 - 256)
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Représentation des entiers relatifs
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- Valeur absolue signée
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- Un bit de signe puis la valeur absolue
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- Sur 1 octet : 1 bit de signe, 7 bits de valeur
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- 1001 1011 -> -27 ;-)
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- Convention d'interprétation du binaire par le type...
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- 0000 0000 -> 0, 1000 000 -> -0 => 0.1 + 0.2 == -0 (int2.c)
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- Pas très pratique...
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- Complément à 2
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- Un seul 0 : 0000 0000
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- 1 -> 0000 0001
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- -1 -> 1111 1111
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- 127 -> 0111 1111
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- -128 -> 1000 0000
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- Pratique (et utilisé pour les types entiers) car :
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- un seul 0
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- les opérations sont identiques à celles pour un entier non signé
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- Détails [ici](https://fr.wikipedia.org/wiki/Compl%C3%A9ment_%C3%A0_deux)
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- Débordement (char2.c) :
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- 127 + 1 = 128
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- 0111 1111 + 0000 0001 = 1000 0000 -> -128
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Les réels
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Ici, 0.1 + 0.2 = 0.30000000000004 ([détails ici](https://0.30000000000000004.com/)) (double.c)
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Virgule fixe
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- Un réel = une partie entière et une partie fractionnaire séparés par une ','
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- On code par exemple sur 2 octets :
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- 1 octet pour la partie réelle en complément à 2 (entier relatif)
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- 1 octet pour la partie fractionnaire en inverse : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, etc. (était en décimal 1/10, 1/100, 1/1000, etc.)
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- Il n'y a pas 1/10 ! -> On ne peut que s'approcher de 0.1, 0.2 et 0.3...
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- Comme on écrit des nombres en décimal et qu'on les approxime avec des 1/2, 1/4, 1/8, etc. :
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- 0.1 n'est pas exactement 0.1
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- 0.2 n'est pas exactement 0.2
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- donc 0.1 + 0.2 n'est pas exactement 0.3
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- Note : un nombre en binaire sera aussi approximé pour repasser en base 10...
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- L'approximation n'est pas forcément visible car nous utilisons une précision assez grande mais elle est là
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- => Pas de calcul décimal exact en réels, **pas de tests d'égalités** !!!
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- égalités entre entiers seulement
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- au pire test d'écart à la valeur recherchée (mais c'est critiqué)
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- Utilisé en pratique si pas mieux dispo (micro-contrôleur sans unité à virgule flottante par exemple)
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Virgule flottante
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- Signe (1 bit), exposant, mantisse
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- Nombre = signe * mantisse * 2<sup>exposant</sup>
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- En C, float (32 bits, peu précis à l'usage) et double (64 bits, plus précis)
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- Exemple du double : 1 bit de signe, 11 bits d'exposant, 52 bits de mantisse (norme IEE754)
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- Les mêmes approximations que précédemment ! (et donc pas non plus de tests d'égalité !!!)
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- Couramment utilisé
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Annexes
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- [Entiers, virgules flottantes ou représentations exotiques ... (Olivier Poncet et Fabien Trégan, DevoxxFR 2022)](https://www.youtube.com/watch?v=1upzDFFIODk). Vidéo de 45 minutes, dont 15 premières minutes sur le programme de cette séance.
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