R1.03/cm3-reels.md

CM3 Codage des réels - Notes de cours

Ici, 0.1 + 0.2 = 0.30000000000004 (détails ici) (double.c)

Virgule fixe

• Un réel = une partie entière et une partie fractionnaire séparés par une ','
• On code par exemple sur 2 octets :
  • 1 octet pour la partie réelle en complément à 2 (entier relatif)
  • 1 octet pour la partie fractionnaire en inverse : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, etc. (était en décimal 1/10, 1/100, 1/1000, etc.)
  • Il n'y a pas 1/10 ! -> On ne peut que s'approcher de 0.1, 0.2 et 0.3...
• Comme on écrit des nombres en décimal et qu'on les approxime avec des 1/2, 1/4, 1/8, etc. :
  • 0.1 n'est pas exactement 0.1
  • 0.2 n'est pas exactement 0.2
  • donc 0.1 + 0.2 n'est pas exactement 0.3
  • Note : un nombre en binaire sera aussi approximé pour repasser en base 10...
• L'approximation n'est pas forcément visible car nous utilisons une précision assez grande mais elle est là
• => Pas de calcul décimal exact en réels, pas de tests d'égalités !!!
  • égalités entre entiers seulement
  • au pire test d'écart à la valeur recherchée (mais c'est critiqué, les incertitudes ne se propagent pas d'une bonne manière)
• Utilisé en pratique si pas mieux dispo (micro-contrôleur sans unité à virgule flottante par exemple)

Virgule flottante

• Signe (1 bit), exposant, mantisse
• Nombre = signe * mantisse * 2^exposant
• En C, float (32 bits, peu précis à l'usage) et double (64 bits, plus précis)
• Exemple du double : 1 bit de signe, 11 bits d'exposant, 52 bits de mantisse (norme IEE754)
• Les mêmes approximations que précédemment ! (et donc pas non plus de tests d'égalité !!!)
• Couramment utilisé
• (floatdouble.c)

Calcul exact (bonus, hors programme)

Pour aller au-delà de ces limites, il faudra utiliser des biblothèques/logiciels dédiés au calcul, par exemple SageMath, Calcium, du décimal codé binaire (DCB) ou encore les fractions python (mais c'est une autre histoire...). Ici, on pourra avoir 0.1 + 0.2 = 3. Les nombres ne sont alors plus représentés comme les types de base vus précédemment qui sont les seuls sur lesquels savent calculer les CPU classiques, mais comme des types construits à plus haut niveau. Points d'attention :

• les calculs sont plus lents, car un calcul de ce type construit impliquera plusieurs calculs sur des types de base au niveau CPU
• les types que vous manipulerez par défaut dans les langages de programmation les plus courants sont uniquement les types de base, efficaces mais donc inexacts.

Annexes

• Entiers, virgules flottantes ou représentations exotiques ... (Olivier Poncet et Fabien Trégan, DevoxxFR 2022). Vidéo de 45 minutes, dont 15 premières minutes sur le programme de cette séance.